东纶科技d下短纤维增强金属基复合材料性能分析

  ! !!#$%&% ’( %)’*+ (&,-* *-&(’*.-/ 0-+!# 0!+*&1 .’02’%&+-%’ 2*’2-*+&-% 3/-* +)-*0’!0-.)!&.!#!.$.#&. #’!/&4 施惠基!! 贾大炜 程 蕾 （清华大学 工程力学系，北京 ###$%） !# $%&% &#’ ()*+% ,-./ 0+% （!#$%&’(& )* +(,-(%-(, ./0$(-/1，21-(,03$ 4(-5%1-&6，7-8-(, ###$%，90-($） 摘要 从复合材料内部组分的细观力学关系入手，选取代

  体积元，基于 &’()*+,椭圆夹杂理论和瞬时体积平均的 概念，通过集中张量描述纤维与基体以及纤维与纤维间的相互作用，并把在弹性范围内得到的各集中张量推广到弹塑性 范围内，建立能够在弹塑性范围内分析热机械循环载荷作用下短纤维增强金属基复合材料的性质的模型。为了接近工 程实际，假设纤维始终保持线弹性，对基体材料采用能反映 +-.’/(012)3效应的混合硬化模型，依据基体的弹塑性状态决 定复合材料整体的弹塑性状态。在塑性范围内，从各向异性的角度出发，采用增量法迭代得出每个加载步结束时复合材 料整体以及各相的应力应变增量。编写控制应变和温度加载条件下，计算复合材料应力应变响应的程序，着重讨论纤维 的外形、空间分布、体积百分比以及温度载荷对复合材料宏观性质的影响，并与相关的实验结果和数值结果进行比较。 关键词 短纤维增强金属基复合材料 热机械循环载荷 混合硬化模型 弹塑性 瞬时体积平均 集中张量 中图分类号 45%567 45%56$ 45%%6 !56789:7 8-’)9 :1 ;() 01;)31-*

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  主要 有 !#$%&’ 等效夹杂理论［(］、)*+,-./0/1/ 平均应力 法［2］、自洽法［3］以及以此为基础的各种解析方法和数 值方法，但研究的领域主要集中在弹性范围内，对塑性 的研究局限于球形夹杂或者短纤维单向分布和随机分 布等特殊情况。4/5/66,和 7/8*9:/［(;］针对各向异性基 体，用数值方法求得了 !#$%&’张量，使得通过瞬时平 均方法计算循环加载过程中的弹塑性位移成为可能。 本文正是在这样的基础上，提出增加考虑温度对 材料本构关系的影响，并对基体采用更加符合实验结 果的混合硬化模型，建立比较完善的适用于热机械循 环加载弹塑性分析的短纤维增强金属基复合材料细观 力学模型，推导相应的本构关系，并将模型计算的算例 与相关的实验数据进行比较。 ! 短纤维增强金属基复合材料热弹塑性本构 关系的推导 ! # 推导中相关变量的定义［(

  ,8?( .#$ 1$@A# B/C *D @#$ 8%*&/% /0: %*A/% A**+:,0/@$ ’@$B 局部坐标系和整体坐标系的转换关系为 ! E !!=，涉及到的各张量的分量值在两个坐标系间依照 张量的分量转换关系进行变换。 从图 (还能得出结论，代表体积元中纤维的取向 分布可以用概率密度函数!（，#）表示。特别地，若纤 维在 !( F !3平面内任意取向，可取# E ;；若纤维在代 表体积元中呈三维轴对称分布，则所有纤维均匀分布 在#角的

  #! :% # $)#) ! % $ %#%$! :% # $) $) ! ! 其中 ! ! $，%，⋯，# & $ （=） 仿照前面关于$, ? 的定义，可以得到 $ %#!!!（，#）:% ! %! % · $ %!#!!!（，#）:% ! $ ?$! ? （@） 同理有 $%#!#!（，#）:% ! $ ?$# ?， $ %#!!（，#）:% ! $ ?% ?， $ %#!$!（，#）:% ! $ ?%$ ?，$! ?、$# ?、% ?和%$ ?是纤维增 强相的平均集中张量，这样式（=）就可以化简得到 $ ?$! ? # $)$!) ! %，$ ?% ? # $)%) ! ! $ ?$# ? # $)$#) ! %，$ ?%$ ? # $)%$) ! ! （A） #$ 从弹性区到塑性区的扩展 假设在整个加载过程中纤维一直保持线弹性，基 体材料遵从B5+-+屈服准则发生弹塑性变形，而复合材 料整体的弹塑性状态由基体材料的弹塑性状态决定。 当基体材料发生塑性变形时，复合材料的宏观响应将 呈完全各向异性，且纤维增强相局域场不再均匀，各点 的应力应变状态依赖于加载历史 !（-，&）! !［-；%（ &）］ !!（-，&）!!!［-；%（ &）］ （C） 其中括号表示对加载历史的依赖性（当加载方式为控 制应变加载时，将%（ &）改为!（ &））。在一个微小的增 量步 : & 时间内，外加载荷将产生一个微小的增量 :% !（&%（ &）D&&）: &，第 ! 个纤维内部各点的应力应变 增量为 :!（-，&）! !［-；%（ &）# :%（ &）］&!［-；%（ &）］’ .# !［-，%（ &）］ :%（ &）# ’(!［-，%（ &）］: :!!（-，&）!!!［-；%（ &）# :%（ &）］&!!［-；%（ &）］’ .! !［-，%（ &）］ :!!（ &）# ’)!［-，%（ &）］: （E） .# ! 和 .! ! 以及 .$ ! 和 . ! 为该纤维对应点的瞬时应力 应变集中张量和热应力应变集中张量。这种对空间点 位固有的依赖性与材料的微观几何特性有关。式（E） 对所有纤维增强相取体积平均，并参照前面平均集中 张量的表达，有 :? ! $ %!#%! .#!［-，%（ &）］ :% # .$!［-，%（ &）］:{ } :% ! F%# ?［%（ &）］ :% # F%$ ?［%（ &）］: :!? ! $ %!#%! .!!［-，%（ &）］ :! # .!［-，%（ &）］:{ } :% ! F%! ?［%（ &）］ :!! # F% ?［%（ ） 其中 :?、:!? 表示纤维增强相整体的平均应力应变增 量，纤维增强相瞬时的平均应力应变集中张量 F$! ?、F$# ? 和热应力应变集中张量 F% ?、F%$ ? 由加载历史决定。因为 只有发生塑性变形区域的应力应变状态才与加载历史 有关，所以假设当复合材料进入塑性后，这种对加载历 史的依赖性可以通过基体内每点 -的应力状态)（-） 和内变量状态#)（-）来表达。为了简化分析，进一步 假设各瞬时平均集中张量仅是基体材料内应力平均值 ) !〈（)（-）〉和内变量平均值#) !〈（#)（-）〉的 函数，由此可得式（$;）的最终形式 :? ! F$# ?（)，#)） :% # F%$ ?（)，#)）: :!? ! F$! ?（)，#)） :!! # F% ?（)，#*）: （$$） 对基体材料的平均应力应变增量也有类似的表 达，而且基体和纤维增强相的各瞬时集中张量仍要满 足类似式（A）的表达。以上通过两次假设得出结论，代 表体积元中纤维增强相弹塑性响应的平均值依赖于基 体瞬时的平均弹塑性状态。这样即使在塑性情况下， *+,-./0椭球形夹杂理论仍然成立，因为基体和纤维增 强相都被认为是瞬时均匀的，前面提到的弹性阶段的 第 %A卷第 ’期 施惠基等：热机械循环载荷下短纤维增强金属基复合材料性能分析 ’(A 万方数据 各集中张量仍然可用，只是需要考虑每相瞬时性质平 均值的改变，将公式（!）中的材料常数改为依赖于基 体平均应力! 和平均内变量 的瞬时材料模量即 可。这种假设的合理性，将在后面的分析中与其他实验 及数值模拟结果进行比较验证。 ! # 循环加载下基体材料热弹塑性本构关系的表达 由于复合材料在塑性区的性质主要取决于基体材 料塑性变形后的属性，下面将考虑基体材料在循环加 载下的热弹塑性本构关系。 对于率无关的基体材料，应变增量可以分解为机 械项和温度项两部分 #! $ #!%& ’ #!(! $ !%& ) #! ’ # （*+） 其中 !%& 是基体的弹塑性柔度矩阵。 关于基体材料的硬化准则有各向同性硬化、随动 硬化和混合硬化三种选择。 图 , 各种塑性硬化示意图 -./0, (1% 23%451 6& 78 169#%:.:/ 7#%;2 各向同性硬化认为材料进入塑性后，屈服面中心 位置不变，瞬时的屈服半径 #（!!&）通过材料的硬化系 数 $ 和硬化指数 % 计算，其中!!& 定义为累积塑性应 变，#!!& $ + , ##& ) ## &。 随动硬化则强调

  ］ 知，材料在混合硬化模型下的屈服条件可以写成 ’（!，-，#）$ * +（!? @ #?）)（!? @ #?）@ * , + - $ * +（( )? @ *( )?）)（( )? @ *( )?）@ * , + - $ A （*,） 其中!? 表示!的偏量，- 表示屈服半径的大小，- $ （* @ +）2 ’ +#（!!&），其中 #（!!&）表示单纯考虑各向同 性硬化理论时算得的屈服半径，-和 #（!!&）都是!!&的 函数。+ 是各向同性硬化系数，+ $ *时对应各向同性 硬化的情况，而 + $ A时对应随动硬化的情况。+ 只决 定材料的本构曲线在哪进入塑性，而与曲线在塑性区 的具体形状无关。 定义塑性模量 ,& 亦为!!& 的函数，单向拉伸情况 下 ,& $ #** B#!&**，可以求得材料弹塑性柔度张量的 具体表达式为 !%& $ !% ’ C!,&（!!&）+-（!!&） （!? @ #?）（!? @ #?）（*!） ! $ 增量平均方法的数值实现 为了便于编程计算，用矩阵形式表示前面分析中 涉及到的各张量，

  下标 () 与一维指标有如下的对 应次序 **#* ++#+ ,,#, +,#! ,+#

  ,*#D *,#E *+#F +*#C 考虑到二阶应力、应变张量!、#的对称性，将它 们写成如下 D G *的列向量 （!）$ ** ++ ,, +, ,*   *+ （#）$ !** !++ !,, +!+, +!,* +!   *+ （*

  ） 则其他各四阶张量可以相应的写成 D G D的矩阵形式， 与对应的张量分量相比，只是有些项的系数略有不同。 这样需要注意的是，涉及到张量运算的时候，要先将此 系数除掉，在将最终的结果转换成矩阵的时候，再乘上 这个系数。 在主程序中，假设采用控制应变加载，使得在每个 加载步中代表体积元整体上受到的平均应变增量为 !!#（包括机械应变增量和温度增量! 的作用）。其中 加载的应变在整体坐标系的 -, 方向，允许 -*、-+ 方向 自由变形，但是保证 -*、-+ 方向整体不受力，则复合材 料整体平均应力应变增量中已知量和未知量分别为 !$! $ A A !!,（未知）   A A A !!# $ !!!*（未知） !!!+（未知） !!!,（已知） !!!!（未知） !!!

  （未知） !!!D  （未知） （*D） ,!F 机 械 强 度 +AA

  年 万方数据 由于在整体平均应力应变增量中均有未知量，先 将复合材料的整体本构关系进行合并得到 !!! ! ! !! # !$!!$ ! ! （! ! # !）# !$（!$!$ # $!）! ! ! （# ! # $ !）# ![ ] # !$ !$（#$! # $$!）# $![ ] ! %! # & （%&） 其中 % ! ! ! # # !$!$#$ & ! ! ! $ # ( ) ! # !$ !$ $$ # ( )$ !（%’） 将式（%&）化成 #$ ! % 的形式建立方程组，利用全选 主元高斯—约当消去法即可解得复合材料整体的应 力应变增量，进而可以通过各集中张量求得基体和纤 维增强相的平均应力应变增量。当基体发生塑性变形 时，需要通过迭代方法得到结果，具体过程是 !（ &#%）$ ! (## & $ （ &$，# &$）!（ &#%） # ($ & $（ &$，# &$）! & ! %，)，⋯ （%*） 初始迭代增量可以沿用弹性的方法计算，在每个 迭代步中 (## &$、($ & $ 、% 和 & 遵照前面提到的公式，通过 基体瞬时的弹塑性柔度张量和 +,-./01张量 ’更新，求 得新的!（ &#%）、!!!（ &#%）和!（ &#%）$ ，直到满足收敛准则 $!（ &#%）$ 2!&$$ $!&$$ ! ’$ %!$ （)3） 其中!$ 是容许的误差值。 再求出其余各相的平均应力应变增量，结束本次 迭代过程。 ! 结果分析与讨论 图 4给出的是本模型计算结果和参考文献中计算 结果的比较［%5］。基体采用 6/7)%)4，纤维采用长径比为 % 8 % 8 %的 9:;颗粒（球体任意三个互相垂直的坐标轴 都可以视为主轴，所以此时复合材料的宏观响应与纤 维的取向分布无关），体积分数为 %

  33& ? @ 3

  33& ?， 循环圈数取 %?圈，其他材料参数如下 ($ ! &3 ABC，$ ! 3

  & ) ! ))3 DBC，$ ! 3

  ?，( ! 4?3 ABC， ! 3

  3 G %325H2%，! ! 3

  )’ 图 4 颗粒增强 9:;E6/主轴方向宏观应力应变循环曲线 ;K$LCM.N O:P- P-. QR$.M:SC/ M.,R/P, :Q M..M.QS., C0KRP ,PM.,,7,PMC:Q M.,LKQ,., 从以上两组图的对比结果看，本模型的计算曲线 与已有结果基本一致，图 ?中的应力峰值存在一定的 差异，原因主要是程序中的材料参数均不随温度变化， 而且与实验材料的实际参数不完全相符，另外各向同 性硬化系数 !的取值也未必合适。总之，在控制应变加 载的情况下，无论是否考虑温度载荷的变化，本模型的 结果均具有一定的可信度。 以下先针对 6/7)%)4E9:;复合材料，分析室温、控 制应变循环加载条件下，纤维增强相的体积分数、长径 比和空间取向分布对复合材料宏观性质的影响。另外 从图 4中本模型的模拟结果可以看出，尽管各向同性 硬化占了很大的比例（ ! ! 3

  问题 又节省计算费用，统一取两个周期的控制应变循环加 载，幅值为 2 3

  33’ @ 3

  ; 和 :?;。 可见，随着纤维体积分数的增大，不仅使复合材料 整体的初始屈服半径值有所提高，而且弹性模量值也 变大了，这使复合材料整体产生同样的塑性应变所需 的外力值大大提高，即复合材料的承载能力大大增强 了。 接下来考虑不同的纤维形貌（即长径比）和空间 取向分布规律对复合材料宏观性质的影响。在图 ?中， 图 @ 纤维体积分数为 :9; 时的轴向响应曲线 *-5 7’++1,)’-5#-$ )0*,1 图 C 不同纤维体积分数下复合材料主轴方向的宏观本构曲线’()’,#/1 .#/0 5#BB1+1-/ D’34(1 B+*7/#’- ’B +1#-B’+71(1-/

  !9 机 械 强 度 :99!年 万方数据 图 ! 不同纤维长径比下复合材料主轴方向的宏观本构曲线 #$%! &’()**+*’(,#- ()*./-*) /0 ’/’,1 2/3./*#’) ,’ 4#00)()-’ ,*.)2’ (,’#/* /0 0#5)(* 纤维的体积分数均取678，纤维的长径比分别为6 9 6 9 6和 6 9 6 9 :，对比纤维取向单向分布和按余弦函数 !（）; 2/*（7

  热机械循环载荷下复合材料轴向应力应变曲线 #$%

  &’()**+*’(,#- ()*./-*) ?-4)( #*/’@)(3,1 ,-4 ’@)(3/+3)2@,-#2,1 1/,4#-$ 变得更加细长才更有意义。相比之下，增大纤维的体积 分数则更加简单有效。 最后讨论热和机械载荷共同作用下复合材料的宏 观性质。定义同相加载（#-+.@,*) 0,’#$?)，AB）为温度随 时间的变化率和应变随时间的变化率同号，异号的情 况为反相加载（/?’+/0+.@,*) 0,’#$?)，CB）。复合材料选 用 D1

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  6 I J =F7( )

  77[ ]7 KB, ! 0 ; G:M OB,，$3 ; M %77，$0 ; M %6F 应变变化范围是 I M%M6 P M%M6，温度变化范围是

  MQ P =6MQ，把分别在同相加载和反相加载条件下 得到的曲线与等温条件下得到的循环曲线对比画在图 第 =F卷第 7期 施惠基等：热机械循环载荷下短纤维增强金属基复合材料性能分析 7:6 万方数据 !中。可以看出同相加载曲线比等温加载曲线塑性阶 段更平缓，在相同的应变值下应力响应比较小，而反相 加载则反之。这与随温度升高材料弹性模量减小的实 验结果一致。 ! 结论 本文从短纤维增强金属基复合材料内部组分的细 观力学关系入手，利用瞬时体积平均的概念对弹性阶 段的集中张量进行塑性推广，并选择更加符合实际的 混合硬化模型描述基体材料的循环硬化性质，得到较 为完善的适用于热机械循环加载的短纤维增强金属基 复合材料弹塑性本构关系。通过本模型得到的结果与 已有的试验结果和数值结果基本一致，证明了本模型 的有效性。 通过对铝基复合材料例子的研究表明，短纤维增 强金属基复合材料的宏观性质与纤维增强相的性质 （体积分数、长径比、空间取向分布规律）密切相关，特 别是增加纤维的体积分数对提高材料性能尤为有效。 分别在同相加载和反相加载条件下得到与相关试验结 果一致的宏观响应曲线，说明本模型切实反映材料的 实际规律，可以用于热机械循环加载下短纤维增强金 属基复合材料性质的研究。但同时也看到，由于混合硬 化模型中的随动部分采用线性强化，导致塑性阶段的 响应曲线过于平直，与试验结果难免有一定差距，可以 通过采用更好的硬化模型加以改进。 致谢 本论文的研究工作得到国家重点基础研究专项经 费（#!!!$%&$）和国家自然科学基金项目（&!’(#$))） 的资助，在此感谢。 #$#%#&’#( # *+,-./0 1 23 4,- 5-6-789:;69

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